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By Burkhard Külshammer

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2 gilt dann:   falls y = x 1, µN (x, y) = −1, falls y = x + 1   0, falls y > x + 1 Analog gilt für die Werte µX (x, ·) der Möbius-Funktion in einem total geordneten Intervall einer lokal endlichen geordneten Menge X: y 0 0 0 −1 x 1 µX (x, ·) (b) Sei X = N mit der Teilbarkeit | als Ordnung und seien x, y ∈ N. Im Fall x y ist µX (x, y) = 0. Sei also x | y und xy = pr11 . . prkk mit r1 , . . , rk ∈ N und paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , . . , pk . Dann: k y ∼ [x, y] ∼ {0, . . , ri } .

Pk . Dann: k y ∼ [x, y] ∼ {0, . . , ri } . ,ri } (0, ri ) = i=1 (−1)k , falls ri = 1 für i = 1, . . , k 0, sonst Dies ist das klassische Beispiel einer Möbius-Funktion. (c) Sei X = P(M ) für eine endliche Menge M mit der Inklusion ⊆ als Ordnung. Dann gilt für A ⊆ B ⊆ M : [A, B] ∼ {0, 1} . 5 Satz Sei X eine lokal endliche geordnete Menge. Für x, y ∈ X ist dann µX (x, y) die Differenz aus der Anzahl der Ketten gerader Länge von x nach y in X und der Anzahl der Ketten ungerader Länge von x nach y in X.

Dann operiert G := GL(n, K) auf Ω = Kn×1 durch Multiplikation. Offenbar ist {(0, . . , 0) } eine Bahn für sich. Ist 0 = (α1 , . . , αn ) ∈ Kn×1 , so existiert eine Basis b1 , . . , bn von Kn×1 mit b1 = (α1 , . . , αn ). Dann ist die Matrix B = (b1 |b2 | . .  =  .  .  ..   ..  0 αn Also: OrbG ((1, 0, . . h. die Operation hat genau zwei Bahnen. (iv) Jede Untergruppe H einer endlichen Gruppe G operiert auf Ω := G durch Linksmultiplikation mit h ∗ g := hg (h ∈ H, g ∈ G). Für g ∈ G heißt OrbH (g) = {hg : h ∈ H} = Hg Rechtsnebenklasse von g nach H.

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